# New PDF release: Algebraic Geometry 3: Further Study of Schemes (Translations

By Ueno K., Kato G.

This can be the 3rd and ultimate a part of a textbook meant for a graduate direction on algebraic geometry (the first have been released as volumes 185 and 197 of this series). Containing chapters 7 via nine, in addition to the ideas to routines, the writer covers the elemental houses of scheme thought, algebraic curves and Jacobian forms, analytic geometry, and Kodaira's vanishing theorem. Translated from the japanese Daisu kika.

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Example text

Hierzu nehmen wir eine Losung der MATHIEUsehen Gleichung an in der Form u = ehP • p. (3) (1 + ~- + ~; + ... ). Mit (2) und (3) gehen wir in die MATHIEUsehe Gleiehung: d2 u dx 2 + U (A - 2h2 eos2x) = 0, fassen Glieder mit der gleiehen Potenz von h zusammen und setzen ihre Summe gleieh Null. Wir nehmen weiterhin in den Formeln dieses Absehnittes an, h 2 sei positiv. Naeh einer liingeren Rechnung (33, S. 27 h + (4) / + + -(5mt + 34mi + 9)/212 • h2 - (33mf + 410mr + 405m1) /2 17 h3 - (63m~ + 1260mi + 2943mi + 486)/220 h4 - (2108mi + 62468mf + 270379mi + 149 553m2)/223h5+ ....

232 Wir summieren noch samtliche Glieder vonLi (0) , die nur h4 enthalten, und finden nach H. BREMEKAMP (12, S. 143): 00 LI (0) = 1 ~ 1 1 - 2· (2h2)2 ~ J. - (2k + 2)8 + o(hB) . k=O Die letzte Reihe laBt sich summieren mit Hilfe der Formel: 00 2 ~ ~ ~+ ~~ k=l "4- k2 n =ncotg2",x. Es ergibt sich: LI (0) = 1 + 2· (2h2)2. (3) VI n 8 J. ) cotg':: 2 V1 + o(hB) . Aus (3) und (1) ergibt sich der charakteristische Exponent fJ. c) des charakteristischen Exponenten nach E. T. 424). B~rechnung WHITTAKER fiihrt einen neuen Parameter a ein und setzt als Losung der MATHIEUschen Gleichung an: u= (1 ) mit (2) { F (x) _ e~'XF(x) + as cos (3 x - a) + ba sin (3 x + a cos(5x - a) + b sin(5x - a) + "', = sin (x - a) a) 5 5 wobei a festgelegt wird durch die Bedingung, daB in F(x) kein Glied cos (x - a) auftreten solI.

T. WHITTAKER (150) gewisse Rekursionsformeln aufgestellt worden, die dann von R. S. VARMA (144) zur Auswertung einiger Integrale benutzt wurden. Entsprechend den im Abschnitt II, 2 c erwiihnten Fragestellungen ist auch· bei del' MATHIEUschen Differentialgleichung die Betrachtung komplexer und insbesondere rein imaginarer Parameter h 2 und der zugehi:irigen A-Werte, welche zu periodischen Li:isungen Anla13 geben, interessant. Der Fall eines rein irnaginiiren h 2 kann praktisches Interesse beanspruchen, da er bei der Berechnung der elektrischen Wirbelstri:ime in elliptischen Zylindem auftritt (126; 89).