A ''sup+ c inf'' inequality for Liouville-type equations by Bartolucci D. PDF

By Bartolucci D.

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Problème 1. Comment calculer les nombres N (d, g) ? Sans aucun doute, les origines de la géométrie énumérative remontent à fort loin. Par exemple, les grecs savaient certainement déjà que par 5 points passe une unique conique. Cependant, à ma connaissance le Problème 1 n’est posé en toute généralité que depuis le xixe siècle(11) alors que la géométrie énumérative connaît un véritable essor grâce notamment aux travaux de Chasles, De Joncquieres, Schubert, Zeuthen... En 1900, Hilbert propose dans son 15e problème (voir [Hil01]) de travailler à des bases rigoureuses du calcul énumératif de Schubert.

Théorèmes de Correspondance. Nous avons maintenant toutes les définitions requises pour pouvoir faire de la géométrie énumérative tropicale. Fixons-nous un degré d 1, un genre g 0, et une configuration générique ω = {p1 , . . , p3d−1+g } de 3d − 1 + g points dans R2 . Considérons alors l’ensemble TC(d, g, ω) de toutes les courbes tropicales irréductibles nodales(15) de degré d, de genre g, passant par tous les points de ω. 9 (Mikhalkin, [Mik05]). Si la configuration de points ω est générique, alors l’ensemble TC(d, g, ω) est fini.

1. (11) Les problèmes énumératifs posés alors sont même encore plus généraux ! Voici un exemple dont nous ne parlons pas ici : combien y a t-il de droites dans l’espace intersectant 4 autres droites données ? La réponse est 2, et il existe une bien jolie démonstration due à Schubert. 42 E. BRUGALLÉ d\g 1 2 3 4 0 1 2 1 0 0 1 0 0 12 1 0 620 225 27 3 0 0 0 1 Table 1. 22. Pour tout d N d, 3 on a (d − 1)(d − 2) − 1 = 3(d − 1)2 . 2 À partir de années 1970, les progrès de la géométrie algébrique contribuèrent à réveiller l’intérêt pour les questions énumératives, et de nouveaux nombres N (d, g) furent calculés.

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by William
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